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[主观题]

设A∈Rn×n为对称正定矩阵,χ∈Rn,‖χ‖=是Rn中的一种向量范数。

设A∈Rn×n为对称正定矩阵,χ∈Rn,‖χ‖=

设A∈Rn×n为对称正定矩阵,χ∈Rn,‖χ‖=是Rn中的一种向量范数。设A∈Rn×n为对称正定矩阵是Rn中的一种向量范数。

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第1题
设P∈Rn×n为非奇异,又‖χ‖是Rn上的一种向量范数,证明: (1)是Rn上的一种向量范数; (2)是

设P∈Rn×n为非奇异,又‖χ‖是Rn上的一种向量范数,证明: (1)

是Rn上的一种向量范数; (2)

是向量范数‖χ‖*的矩阵范数。

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第2题
设Ax=b,其中A∈Rn×n为非奇异阵,证明: (a)ATA为对称正定矩阵; (b)cond(ATA)2=[cond(A)2]2.

设Ax=b,其中A∈Rn×n为非奇异阵,证明:

(a)ATA为对称正定矩阵;

(b)cond(ATA)2=[cond(A)2]2.

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第3题
考虑下列问题: 设p(1),p(2),…,p(n)∈Rn为一组线性无关向量,H是n阶对称正定矩阵,令向量d(k)为

设p(1),p(2),…,p(n)∈Rn为一组线性无关向量,H是n阶对称正定矩阵,令向量d(k)为

证明d(1),d(2),…,d(n)关于H共轭.

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第4题
设A∈Rn×n为对称正定矩阵,χ∈Rn,‖χ‖=设线性方程组若系数矩阵有微小扰动δA=试求解得相对误差及相对

设线性方程组

若系数矩阵有微小扰动δA=

试求解得相对误差及相对误差估计。

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第5题
设A=(aij)n×n是正定矩阵,对于Rn中任意两个(列)向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T,令 〈α,β〉=αTAβ (6-14

设A=(aij)n×n是正定矩阵,对于Rn中任意两个(列)向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T,令

〈α,β〉=αTAβ (6-14)

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第6题
设A为n阶实对称矩阵,且|A|<0.证明:必存在非零向量x∈Rn,使xTAx<0.

设A为n阶实对称矩阵,且|A|<0.证明:必存在非零向量x∈Rn,使xTAx<0.

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第7题
设A是对称正定矩阵,证明:是向量χ的范数。

设A是对称正定矩阵,证明:

是向量χ的范数。

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第8题
设A是实对称矩阵,且detA<0,试证:必存在n维列向量X∈Rn,使得XTAX<0.

设A是实对称矩阵,且detA<0,试证:必存在n维列向量X∈Rn,使得XTAX<0.

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第9题
设A为n阶实反对称矩阵(即AT=-A),且存在列向量X,Y∈Rn,使得AX=Y,求证:X与Y正交.

设A为n阶实反对称矩阵(即AT=-A),且存在列向量X,Y∈Rn,使得AX=Y,求证:X与Y正交.

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第10题
设A,B∈Rn×n,且‖·‖为上矩阵的算子范数,证明: cond(AB)≤cond(A)cond(B).

设A,B∈Rn×n,且‖·‖为上矩阵的算子范数,证明:

cond(AB)≤cond(A)cond(B).

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