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[主观题]

试证明: 设Γ={Eα}是R1中某些互不相交的正测集形成的集族,则Γ是可数的.

试证明:

设Γ={Eα}是R1中某些互不相交的正测集形成的集族,则Γ是可数的.

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第1题
试证明: R1中存在着可列个互不相交的稠密可列集.

试证明:

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第2题
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第3题
试证明: 设是可测集,且a∈R1,δ>0.若对于满足|t|<δ的t∈R1,均有a+t∈E或a-t∈E,则m(E)≥δ.

试证明:

是可测集,且a∈R1,δ>0.若对于满足|t|<δ的t∈R1,均有a+t∈E或a-t∈E,则m(E)≥δ.

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第4题
设A1,A2,…,An是有限个互不相交的可测集,且 , k=1,2,…,n 试证:

设A1,A2,…,An是有限个互不相交的可测集,且

, k=1,2,…,n

试证:

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第5题
试证明: 设是闭集,则E是某个可数子集的闭包.

试证明:

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第6题
试证明: R1上单调函数的不连续点全体为可数集.

试证明:

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第7题
设有f:[a,b]→R1,若对于[a,b]中任一可测集E,f(E)必为R1中的可测集,试证明:对于[a,b]中任一零测集Z,必有m(f(Z

设有f:[a,b]→R1,若对于[a,b]中任一可测集E,f(E)必为R1中的可测集,试证明:对于[a,b]中任一零测集Z,必有m(f(Z))=0.

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第8题
试证明: 设E1,E2,…,Ek是[0,1]中的可测集,且有,则.

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设E1,E2,…,Ek是[0,1]中的可测集,且有,则

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第9题
试证明: 设是不可数的闭集,则F可表示为一个完全集与一个可数集之并.

试证明:

是不可数的闭集,则F可表示为一个完全集与一个可数集之并.

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第10题
试证明: 设且m*(E)<+∞,若有 m*(E)=sup{m(F):是有界闭集}, 则E是可测集.

试证明:

且m*(E)<+∞,若有

m*(E)=sup{m(F):是有界闭集},

则E是可测集.

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