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题目内容（请给出正确答案）

[主观题]

设群中元素a的阶无限．证明：（as)=（at)设a，b是群G中两个有限阶元素．且 ab=ba，（a|，|b

设a，b是群G中两个有限阶元素．且 ab=ba， (a|，|b|)=1．证明：(a，b)=＜ab＞．

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第1题

设群中元素a的阶无限．证明：（as)=（at)设a是群G中一个阶为n的元素．证明：（as)=（at)（s,n)=

设a是群G中一个阶为n的元素．证明： (as)=(at)

(s,n)=(t,n)

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第2题

设a，b是群G中阶分别为m与n的两个元素．证明：若ab=ba，则 |ab||[m，n]，其中[m，n]是m与n的最小

公倍数，而且G中有阶为[m，n]的元素．

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第3题

设群G中元素a的阶为n．证明： as=atn|（s—t)．

设群G中元素a的阶为n．证明： as=at

n|(s—t)．

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第4题

设群中元素a的阶无限．证明：（as)=（at)s=±t．

设群中元素a的阶无限．证明： (as)=(at)

s=±t．

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第5题

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.（1)证明若a的阶是有限的,则f（a)的阶也是有

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

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第6题

设（G，*)是偶数阶群，证明在G中必存在非幺元a，使得a*a=e。

设(G，*)是偶数阶群，证明在G中必存在非幺元a，使得a*a=e。

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第7题

设G={000，001，100，101}，运算是按位加，求群（G，)中各元素的阶数。

设G={000，001，100，101}，运算是按位加，求群(G，)中各元素的阶数。

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第8题

设G是一个2n阶有限交换群,其中n是一个奇数证明:群G有且只有一个2阶子群

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第9题

设群G中元素a的阶是mn，且（m，n)=1．证明：在G中存在元素b，c使 a=bc=cb， |b|=m， |c|=n，并且

设群G中元素a的阶是mn，且(m，n)=1．证明：在G中存在元素b，c使 a=bc=cb， |b|=m， |c|=n，并且这样的元素b，c是惟一的．

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第10题

设G是一个群,且|G|>1.证明:若G中除单位元e外其余元素的阶都相同,则这个相同的阶不是无限就是一个素数.

设G是一个群,且|G|＞1.证明:若G中除单位元e外其余元素的阶都相同,则这个相同的阶不是无限就是一个素数.

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