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[主观题]

设 A 为n 阶方阵，若存在数B 和（) n 维向量 X ，使得 AX=BX ，则称数B 为A 的特征值， X 为A 相

设 A 为n 阶方阵，若存在数B 和() n 维向量 X ，使得 AX=BX ，则称数B 为A 的特征值， X 为A 相应于特征值B的特征向量.

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更多“设 A 为n 阶方阵，若存在数B 和（) n 维向量 X ，…”相关的问题

第1题

设A,B均为n阶方阵,则下列结论正确的是（)。

A.若λ既是A,又是B的特征值,则必是A+B的特征值

B.若λ既是A,又是B的特征值,则必是AB的特征值

C.若X既是A,又是B的特征向量,则必是A+B的特征向量

D.A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量

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第2题

设A,B均为n阶方阵,则下列结论正确的是（)。

A.若入既是A,又是B的特征值,则必是A+B的特征值

B.若入既是A,又是B的特征值,则必是AB的特征值

C.若工既是A,又是B的特征向量,则必是A+B的特征向量

D.A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量

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第3题

设A是n阶实对称矩阵，x是Rⁿ中任意非零(列)向量，称

为关于矩阵A的瑞利(Rayleigh)商.试证瑞利原理：设实对称矩阵A的全部特征值按大小顺序排列成λ₁≤λ₂≤…≤λ_n,ξ₁为对应于λ₁的特征向量，ξ_n为对应于λ_n的特征向量，则

λ₁≤R(x)≤λ_n (5-10)

且

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第4题

设λ₁，λ₂为方阵A的两个不同特征值，x_i为对应于特征值λ_i的特征向量(i=1，2).证明：对任意非零常数a₁，a₂，向量a₁x1+a₂x₂不是A的特征向量.

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第5题

证明特征值与特征向量的性质2：设λ为方阵A的特征值，则对于任意正整数k，λ^k为A^k的特征值；并且，对于任一多项式f(x)=a_mx^m+…+a₁x+a₀，f(λ)为方阵f(A)=a_mA^m+…+a₁A+a₀E的特征值.

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第6题

设3阶方阵A的特征值为1，-1，0，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃.令矩阵B=A²-2A+3E.求B^-1的特征值与特征向量。

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第7题

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=-1，α₁=(1，2，3)^T及α₂=(2，3，4)^T均为A的对应于特征值2的特征向量，则A的对应于特征值-1的特征向量为______.

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第8题

设A为n阶实对称矩阵，证明：A的特征值全非负

存在实方阵B，使得A=B^TB.

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第9题

设n阶方阵A，B可交换，即AB=融，且A有n个互不相同的特征值，证明：

(1) A的特征向量都是B的特征向量；(2) B相似于对角矩阵.

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