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数域K上幂等矩阵的秩等于它的迹

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第1题
证明:数域K上的n级幂零矩阵的特征值都是0.

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第2题
数域K上n级幂等矩阵A一定可对角化,并且A的相似标准形是diag{Ir,0),其中r=rank(A).

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第3题
证明:任一数域K上的幂等矩阵一定有特征值,并且它的特征值是1或0.

如果A有特征值,则A的特征值不等于零;

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第4题
数域K上的对合矩阵一定可对角化;并且写出它的相似标准形.

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第5题
证明:任一数域K上的幂等矩阵一定有特征值,并且它的特征值是1或0.如果λ0是A的一个特征值,则λ0-

如果λ0是A的一个特征值,则λ0-1是A-1的一个特征值.

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第6题
设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式,设A是数域K上的n级矩阵,定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm.显然,(A)仍是数域K上的一个n级矩阵,称,(A)是矩阵A的多项式.证明:如果A~B,则f(A)~f(B).

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第7题
四位玫瑰数是4位数的自幂数。自幂数是指一个 n 位数,它的每个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‭‬ 例如:当n为3时..

四位玫瑰数是4位数的自幂数。自幂数是指一个 n 位数,它的每个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‭‬ 例如:当n为3时,有1^3 + 5^3 + 3^3 = 153,153即是n为3时的一个自幂数,3位数的自幂数被称为水仙花数。‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‭‬ 请输出所有4位数的四位玫瑰数,按照从小到大顺序,每个数字一行。

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第8题
证明:数域K上奇数级斜对称矩阵的行列式等于零.

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第9题
数域K上的斜对称矩阵一定合同于下述形式的分块对角矩阵:

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