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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内连续可导，x。∈(a，b)是f(x)的唯一驻点． 若f(x。)是极小值，证明：x∈(a，x。)时，fˊ(x)＜0；x∈(x。，b)时，fˊ(x)＞0
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f(x)在区间[ab]上连续，在(a，b)内可导，且
，求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)＝0．
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，a＞0，证明存在点ξ∈(a，b)，使得
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导,证明在(a，b)内至少存在一点ξ，使得
设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得
证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ab(x)dx＝f(η)(b－a)； (2)若函数ψ(x)具有二阶导数，且满足ψ(2)＞ψ(1)，ψ(2)＞∫abψ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得ψ"(ξ)＜0．
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明在(a，b)内至少存在一点ξ，使得
立。
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
证明存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=2ξf(ξ)．
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'(x)≠0。证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得
。
