设α1,α2,…,αm是欧氏空间V中的m个向量.令行列式 证明:α1,α2,…,αm线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α1,
设α1,α2,…,αm是欧氏空间V中的m个向量.令行列式
证明:α1,α2,…,αm线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α1,α2,…,αm的格拉姆(Gram)行列式).
设α1,α2,…,αm是欧氏空间V中的m个向量.令行列式
证明:α1,α2,…,αm线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α1,α2,…,αm的格拉姆(Gram)行列式).
设向量α1≠0,证明:向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性无关的充要条件是每个向量αi都不能由α1,α2,…,αi-1线性表出(i=2,3,…,m).
(A)向量组α1,…,αm可由向量组β1,…,βm线性表示.
(B)向量组β1,…,βm可由向量组α1,…,αm线性表示.
(C)向量组α1,…,αm与向量组β1,…βm等价.
(D)矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价. [ ]
(1)若非零向量α1,α2,···,αm中任一个向量均不能由其余向量线性表示,则向量组α1,α2,···,αm线性无关;
(2)若向量组α1,α2,···,αm线性相关,则向量α1可由其余向量α2,···,αm线性表示;
(3)若向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则向量组α1,α2,α3,β1+β2也线性无关;
(4)如果有不全为零的数k1,k2,···,km,使得成立,则α1,α2,···,αm线性相关,β1,β2,···,βm也线性相关;
(5)若向量组α1,α2,···,αm线性相关,向量组β1,β2,···,βm也线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,···,km,使得同时成立;
(6)若向量组α1,α2,···,αm线性无关,向量组β1,β2,···,βm线性无关,则向量组α1,α2,···,αm,β1,β2,···,βm也是线性无关的。