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体积V内含有N个粒子，试用巨正则系综理论证明，在一小体积v中有n个粒子的概率为
，式中，
为体积v内的平均粒子数．上式称为泊松分布．
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其中为体积u内的平均分子数．
(i)证明在体积v内找到m个粒子的几率遵从二项式分布
(ii)证明PN(m)满足归一化条件，即
提示：利用二项式展开.
(iii)直接用PN(m)计算m的平均值
证明．
(iv)证明当，
时，上述二项式分布化为泊松分布：
并证明使PN(m)取极大的m值(即m的最可几值)．
当考虑粒子运动速度接近光速(极端相对论性)的情形时，粒子能量与动量的关系可写为ε=cp，式中，c为光速．试证明：在体积V内、在ε～ε+dε的能量范围内，三维极端相对论性自由粒子的量子态数为
式中，D(ε)为态密度．
设N个粒子系统的速率分布函数为dNv=Kdv(v'＞v＞0，K为常量)，dNv=0(v＞v')
(1)分布函数f(v)的表达式;
(2)a与v。之间的关系;
(3)速度在1.5v。到2.0v。之间的粒子数;
(4)粒子的平均速率;
(5)0.5v。到1v。区间内粒子平均速率。
