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设 ＜ S,* ＞是一个半群,a∈S.在S上定义一个二元运算口,使得对于S中的任意元素x和y.都有
证明:二元运算口是可结合的。
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设(S，*)是一个半群，a∈S．在S上定义一个二元运算口，使得对于S中的任意元素x和y，都有x□y=x*a*y．证明：二元运算□是可结合的．
设集合S={a，b，c}，在S上的一个二元运算△定义如表5-7所示，验证：(S，△)是一个半群．
| 表5-7 | |||
| △ | a | b | c |
| a | a | b | c |
| b | a | b | c |
| c | a | b | c |
设(S，*)是一个半群，而且对于S中的元素a和b，如果a≠b必有a*b≠a*a，试证明：
(1)对于S中的每个元素a，有a*a=a；
(2)对于S中任意元素a，b，有a*b*a=a；
(3)对于S中任意元素a，b，c，有a*b*c=a*c．
如果(S，*)是一个半群，且*是可交换的，称(S，*)是可交换半群．证明：如果S有元素a、b，使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b．
设(A，∨，∧)是一个布尔代数，如果在A上定义二元运算为
，对于任意a，b∈A，有a
b=
，证明：(A，
)是一个阿贝尔群．
如果(S，*)是半群，且运算“*”是可交换的，称(S，*)为交换半群．证明：如果S中有元素a，b，使得a*a=a，b*b=b，则有(a*b)*(a*b)=a*b．
设＜G,*＞是一个群，若在G上定义运算·，使得对于任何元素x,y∈G都有x·y=y*x.证明：＜G,·＞也是群
设(R，*)是一个代数系统，*是R上一个二元运算，使得对于R中的任意元素x和y，都有x*y=x+y+x×y，证明：0是单位元，且(R，*)是独异点．
在S定义二元运算△,对任意
有
