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证明反常积分中柯西判别法的极限形式:
(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续(a是奇点).
若有某个正数μ＜1,使![证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-13/976730858308305.png)
则![证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-13/976730870424998.png)
收敛.
若有某个正数μ≥1,使![证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-13/976730884736816.png)
(包括l=+∞),则![证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-13/976730894859395.png)
发散.
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试证明柯西积分判别法
设f(x)在x≥1上非负、连续且单调减，则级数∑n=1+∞f(n)与广义积分∫1+∞f(x)dx同敛散．
设f(z)在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数。
1)试用柯西积分公式证明
C的最短距离，试用积分估值公式与1)中的等式，证明不等式
3)令n→+∞，对2)中的不等式取极限,证明： |f(z)|≤M。这个结果表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得(最大模原理)。
设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试利用柯西中值定理，证明存在一点ξ∈(a，b)，使
设f(z)在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数
(1)试用柯西积分公式证明：
(2)设M为|f(ξ)|在C上的最大值，L为C的长，d为z到C的最短距离，试用积分估值公式中的等式，证明不等式：
(3)令n→+∞，对(2)中的不等式取极限，证明|f(z)|≤M,这个结果表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得(最大模原理)．
根据这一结果可知：在无源无旋的平面稳定非可逆的流场中的流速最大值，即它的复势f(z)的导数的模|f'(z)|不能在场的内部取得，只能在场的边界上取得．
讨论下列含参变量的反常积分在所给区间上的一致收敛性：
(1)
(0＜a≤x＜+∞)； (2)
证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ab(x)dx＝f(η)(b－a)； (2)若函数ψ(x)具有二阶导数，且满足ψ(2)＞ψ(1)，ψ(2)＞∫abψ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得ψ"(ξ)＜0．
收敛，而反常积分
发散
