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设{fn(x)}为[a，b]上有界变差函数列，fn(x)收敛于一有限函数f(x)，n→∞，
且有![设{fn（x)}为[a，b]上有界变差函数列，fn（x)收敛于一有限函数f（x)，n→∞，且有，则f](https://img2.soutiyun.com/ask/uploadfile/6141001-6144000/6f2741753c2b3a11760f3c67eb8c123d.png)
，M为常数，则f(x)也是有界变差函数。
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设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x0＜x1＜…＜xi﹣1＜xi＜…xn=b 将区间[a，b]任意划分成n个小区间， 如果存在一个常数M＞0，使得 和 则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数． （1）函数f（x）=x2在[0，1]上是否为有界变差函数？请说明理由； （2）设函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数，证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数； （3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x1、x2∈[a，b]时，|f（x1）﹣f（x2）|≤k |
设函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使 对一切实数 ① ⑤ 其中属于“有界泛函”的函数是 （填上所有正确的序号） |
设函数f( )的定义域为R，若存在与无关的正常数M，使 对一切实数均成立，则称f()为“有界泛函”，给出以下函数：
)= ②f()=2， ③  ④ 其中是“有界泛函”的个数为（ ）
|
≤M（i=1，2，…，n）恒成立，
|x1﹣x2|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
证明：V[a,b]按照‖·‖是不可分的巴拿赫空间。
的定义域为R，若存在与
无关的正常数M，使
对一切实数
；
；
；
．其中是“有界泛函”的个数为 （ ）
均成立，则称为“有界泛函”．现在给出如下
个函数：
； ②
；③
；④
；
是
，均有
．
