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[主观题]

设有c[0,1]上的算子序列{L),其中(兀x)(f)=x(fH÷),则{L}按强算子拓扑收敛于某一有界线性算子,但不按一致算子

设有c[0,1]上的算子序列{L),其中(兀x)(f)=x(fH÷),则{L}按强算子拓扑收敛于某一有界线性算子,但不按一致算子拓扑收敛于该算子。

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第1题
试证:巴拿赫空间E中的点集M是准紧的一个充分条件是:

  (1)M是有界的;

  (2)存在按照算子拓扑收敛于单位算子的紧算子序列{Tn},使得在M上一致地有

  ‖Tnx-x‖→0 (x∈M)

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第2题
设1≤p≤∞,{an}是收敛于0的数列,线性算子T:lp→lp定义为T{xn}={anxn}.证明T是紧算子.
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第3题
设A,B是希尔伯特空间上的线性算子,满足

  (Ax,y)=(x,By),

  其中,则A,B均有界。

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第4题
设无穷阵(αij)(i,j=1,2,3,…)满足

  

  在l上定义线性算子:

  y=Tx:ηi=∑j=1αijξj

  其中x={ξ1,ξ2,…,ξn,…},y={η1,η2,…,ηn,…},则T是由l到l中的有界线性算子,且

  

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第5题
试求下列定义于lp上的有界线性算子的伴随算子:

  (1)T{x1,x2,…)={0,x1,x2,…};

  (2)T{x1,x2,…}={α1x1,α2x2,…),其中{αk}是有界数列;

  (3)T{x1,x2,…}={x1,x2,…,xn,0,…},其中n是给定的自然数;

  (4)T{x1,x2,…}={αnxn,αn+1xn+1,…),其中{αk}(k≥n)是有界数列,n是给定的自然数。

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第6题
设{αn}是有界数列,在l中定义算子T:x→y,其中

  x={ξn}, y={αnξn}

  证明T是紧算子的充分必要条件是{αn}→0

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第7题
证明:由L2到l的任何有界线性算子必是紧的
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第8题
设X是自反的Banach空间.证明有界线性算子T:X→l1是紧算子,
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第9题
设T是Hilbert空间H上的线性算子且对所有x,y∈H有〈Tx,y〉=〈x,Ty〉.证明T是有界算子.
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