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[主观题]

设α,β是欧氏空间V中任意两向量,证明平行四边形定理 ‖α+β‖2+‖α-β‖2=2(‖α‖2+‖β‖2)

设α,β是欧氏空间V中任意两向量,证明平行四边形定理

‖α+β‖2+‖α-β‖2=2(‖α‖2+‖β‖2)

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第1题
设V1,V2是欧氏空间V的两个子空间,证明:

  (1)

  (2)

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第2题
设α1,α2,…,αm是欧氏空间V中的m个向量.令行列式

  

  证明:α1,α2,…,αm线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α1,α2,…,αm的格拉姆(Gram)行列式).

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第3题
设α1,α2……αn为n维欧氏空间V的一组基.证明:这组基是标准正交基的充分与必要条件是,对V中任意向量α都有α=(α,α1)α1+(α,α2)α2+…+(α,αn)αn.

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第4题
设α1,α2,α3是欧氏空间V的一个标准正交基.证明:也是V的一个标准正交基.
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第5题

设ε1,ε2,ε3是三维欧氏空间V的一组标准正交基,证明:也是V的一组标准正交基.

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第6题
设e1,e2,…,en是n维欧氏空间V的一个标准正交基,α是V中任一非零向量,φi是α与ei的夹角.证明

    (6-20)

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第7题
证明在n维欧氏空间V中两两夹钝角(即夹角大于兀/2)的向量不能多于n+1个.

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第8题

设{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基,证明:如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),τ(α3),…,τ(αn)所生成的子空间与β2,β3,…,βn所生成的子空间重合.

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第9题
设e1,e2,…,en是n维欧氏空间V的一个基.证明:如果对于V中任意两个向量α=a1e1+a2e2+…+anen,β=b1e1+b2e2+…+bnen,都有

  〈α,β〉=a1b1+a2b2+…+anbn  (6-23)

  则e1,e2,…,en是V的一个标准正交基.

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