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设f(x)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1．对任意的t∈[0，＋∞)，直线x＝0，x＝t，曲线y＝f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
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设函数f(x)在区间[0,1]上具有连续导数,f(0)=1,且满足
,其中Dt={(x,y)|0≤y≤t-x,0≤x≤t}(0≤1≤1)。求f(x)的表达式。
设函数f(x)在闭区间[0，c]上具有单调减少的导数f'(x)，且f(0)=0,试证：对于满足不等式0＜a＜b＜a+b＜c的a，b，恒有
f(a)+f(6)＞f(a+b)
设f(x，y)在区域D内具有一阶连续偏导数且恒有fx=0及fy=0，证明f在D内为一常数。
设函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f(ξ)＝3．
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续且f(a)＜0.若在区间(a,+∞)内的导数f"(x)＞k＞0,则在区间
内必有方程f(x)=0的根,而且根是唯一的.
设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f'(0)=0，证明在开区间(-1，1)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)=3．
设函数f(x)在闭区间[-1，1]具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f'(0)=0,证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ξ，使f"'(ξ)=3
设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f'(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式
f(a+b)≤f(a)+f(b)其中a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
设函数f(x)在闭区间[a，b]上具有二阶导数，且f'(a)=f'(b)=0证明：在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使
